最近在学习图形学的时候遇到很多算法潜在的概念(还没想好怎么严谨地描述)，记录下。
参考：
无偏/有偏估计和一致/非一致估计
无偏估计量指的是估计量的的期望值(Expected value)等于真实值。
一致估计量则是在样本数量越多，估计量的值会向真实值收敛，无穷多样本的时候。估计量也无穷接近于真实值。
这两个属性没有必然联系。无偏估计量可以是非一致的，同样一致估计量也可以是有偏的。
一些通俗的例子是，摇一个六面色子得到数字的均值（真实值3.5）。
- 估计量1：摇N次，得到的数字求和除以N。这是一个无偏并且一致的估计量。
- 估计量2：摇N次，用每次得到的数字来当估计量。这是一个无偏但不一致的估计量。因为我估计量的均值的确是3.5，但是我摇无穷多次估计量也不会收敛到3.5。
- 估计量3：摇N次，得到的数字求和除以N+1。这是一个有偏但一致的估计量。因为估计量的均值绝对不等于3.5，但N越大，估计量的值就越接近3.5。
渲染的过程，就是通过计算Rendering equation的一个估计量去求得这这个积分的值的过程，所以可以通过估计量的属性去划分这些算法的类型：
- （理解了）使用蒙特卡罗积分（Monte Clarlo Integration）求解渲染方程的算法肯定是无偏且一致的。例如Path Tracing，Bidirectional Path Tracing这两个经典算法。它们的每一个样本都是这个积分定义域中一个点的值，所有样本的计算都是正确无误的最后积分的结果。
- （理解过，有点忘了）基于Density Estimation的那一套方法，例如Photon Mapping，是有偏但一致的。有偏是因为渲染方程是基于光线路径定义的，而Photon Mapping在计算photon密度那一步用一个半径不为0的kernel去加权每个photon的contribution，这和直接计算渲染方程的结果是不一样的。而一致的原因是，算法本身将kernel的半径与photon的数量联系起来，当photon数量无穷的时候，kernel半径就是0了，也就会求得真实解（这和上一段摇色子的估计量3是一样的）。但因为photon数量理论上不可能到无限，所以才有了（stochastic）progressive photon mapping这些逐渐缩小kernel半径的方法，它们同样也都是有偏且一致的。
- （TodoList）基于Markov Chain的Metropolis Light Transport那一路算法，情况略复杂一点。Markov Chain的采样概率保证在样本无穷多的时候收敛到和目标函数一致，但Chain的初期的估计是有偏的（Start-up bias）。所以整个方法也是有偏一致的。算法的作者提供了一个消除Start-up bias的方法可以使算法变成无偏不一致。
但是，并不是无偏估计就好于有偏估计，同样并不是一致性估计就优于非一致性估计，这些属性的优劣要取决于真实应用场景，比如实时性，具体场景。
原因1：因为无偏算法都是基于采样光线路径的，而光线路径的定义中总有一些奇点（Singularity）或者说delta分布，是根本无法采样的。例如对于点光源来说，一个光线击中3D空间中一个点的概率为0等，因为这些我们不得不通过引入bias来计算那一部分路径。例如下图两个玻璃cube底下那一部分光线路径是没法无偏的去采样到的。
原因2：无偏和一致只是属性，并不能量化估计量错误的大小。估计量的期望正确，不代表每个单独估计量都很准（方差可以很大）。衡量估计量的准确度则通常用Mean squared error来表示。而这个值的大小在渲染里和材质，光线路径采样的方式，场景，光源分布等都有关系，不好一概而论。
原因3：视觉上来说，无偏算法的错误大多以噪点形式呈现。而大多有偏算法入辐照度缓存（Irradiance Cache），photon map的错误则是以明亮不规则的光斑，也许后者对于人眼的审美来说更容易接受。
最后说一个简单的例子，其实屏幕空间的filter就是一种bias，只有一个像素宽的box filter才是对图像无偏的估计。但是通常情况下我们都还是会用各种filter让我们的画面更平滑。
Split Sum Approximation
图形学中预计算中常常使用一个Split sum approximation进行简化计算，通过故意引入一个误差，产生有偏差的结果，这意味着使用Split sum approximation的方法会产生系统误差，并且增加样本数量并不会减少这个误差。
图形学中有句老话：“如果它看起来是对的，那它就是对的。”，英文是：“If it looks right, it is right”。
图形学不太关心你使用的技术是否有据可依，只要它能使得渲染出来的图形看起来是对的，那么这个技术就是对的。